Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Цилиндрические координаты точки в пространстве - это ее полярные координаты в XOY и координата Z.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующим образом: Вычислить криволинейный интеграл Рассматривается случай параметрического задания кривой

Пример 12

Найти момент инерции по оси z площади поверхности, которая лежит ниже параболоида , внутри цилиндра , над плоскостью Оxy и имеет формулу распределения плотности .

Решение

По формуле момента инерции получим:

Уравнение области внутри цилиндра переведем в цилиндрические координаты. Получаем:

Пример 13

Вычислить , где

Решение

Теорема 1 о переходе к сферическим координатам

Пусть - непрерывно дифференцируемые и пусть - непрерывная на функция. Тогда

Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям. Интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Метод разложения. Суть этого метода состоит в тождественном преобразовании подынтегральной функции и применении свойств неопределенного интеграла так, чтобы исходный интеграл приводился к одному или нескольким табличным интегралам.

При нахождении интегралов часто применяется свойство 6.5º, согласно которого некоторые сомножители подынтегральной функции подводятся под знак дифференциала, после чего используется подходящий табличный интеграл. Такое преобразование называется подведением под знак дифференциала. Приведем некоторые простейшие преобразования дифференциалов вида : ; ; ; ;   и т.д.

Проиллюстрируем применение этого метода на примерах.

 

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).  Во многих случаях удается введением вместо переменной интегрирования  новой переменной  свести данный интеграл  к новому интегралу, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется иным способом. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Пусть требуется найти интеграл . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив , где –непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную , а . Покажем, что имеет место равенство

.  (6.14)

Это соотношение называется формулой замены переменной. Чтобы установить справедливость этой формулы, достаточно показать, что дифференциалы ее левой и правой частей совпадают.

Согласно (16.3), дифференциал левой части

,

где вместо  и  подставлены их выражения через переменную .

Дифференциал правой части, согласно тому же свойству, равен

.

Тем самым справедливость формулы (16.14) доказана.

Допустим, что интеграл, стоящий в правой части формулы (6.14), найден, т.е.

.

Для нахождения искомого интеграла в виде функций от , необходимо разрешить уравнение   относительно , т.е. найти обратную функцию , и подставить ее в :

. (6.15)


На главную