Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Переход к сферическим координатам осуществляется функциями

r - расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки);

- угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OZ;

- угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против часовой стрелки (полярный угол).

Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:

Связь сферических и декартовых координат:

Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле, аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид:

I - это определитель Якоби, имеющий вид:

т.к. и .

Формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам:

Пример 14

Вычислить , где

Решение

Запишем неравенствами область V в сферических координатах:

Применение тройных интегралов.

I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.

Рассмотрим тело, занимающее пространственную область  (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

    

Единица измерения плотности - кг/м3.

                                Рис. 1.

Разобьем тело произволь­ным образом на n частей; объемы этих частей обозначим   Выберем затем в каждой части по про­извольной точке  Полагая, что в, каждой час­тичной области плотность по­стоянна и равна ее значению в точке , мы получим при­ближенное  выражение для массы всего тела в виде суммы 

Декартовы координаты.

Пусть дан тройной интеграл от функции

причем область  отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьем область интегрирования и плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Охz, Оуz. Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования

В соответствии с этим будем писать

Установим теперь правило для вычисления    такого интеграла.

Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

         Рис.3                                            Рис.4

А) Пример.

Вычислим тройной интеграл

Цилиндрические координаты.

Отнесём область  к системе цилиндрических координат , в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами  ее проекции Р на плос­кость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное распо­ложение осей координат, как указано на рис. 5, уста­новим связь, между декарто­выми и цилиндрическими ко­ординатами точки М, именно:

             (*)

                      Рис.5

Разобьем область  на частичные области  тремя системами координатных поверхностей:  которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью кото­рых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями  служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение

Метод интегрирования по частям. Этот метод следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Пусть  и   – функции, непрерывно дифференцируемые на некотором интервале. Из дифференциального исчисления известно, что , откуда . Интегрируя обе части последнего равенства, получим

 или . (6.18)

(постоянную С мы присоединили к той постоянной, которая получится от второго интеграла).

Формула (16.18) называется формулой интегрирования по частям, а интегрирование с ее помощью – интегрированием по частям. Для применения формулы (16.18) подынтегральное выражения следует разбить на два множителя   и  ( это, как правило, можно осуществить несколькими способами). Затем дифференцированием находится  и интегрированием – функция , причем при нахождении  достаточно найти какую-нибудь одну из первообразных функций, опустив постоянную интегрирования.

 

Интегралы вида

, , (6.21)

где – многочлен, а – некоторое число.

Интегралы этих типов берутся по частям, если за  принять многочлен , а за  – остальную часть подынтегрального выражения. Тогда решение сведется к нахождению интеграла такого же типа, но его подынтегральное выражение содержит многочлен, степень которого на единицу меньше. Следовательно, -кратное применение (16.18) приведет решение к нахождению табличного интеграла (Примеры: 21, 23).

Интегралы вида

,

. (6.22)

В этих интегралах удобно положить ,а за  обозначить остальные сомножители (Пример 22).


На главную