Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.

Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.

Пример 14

Вычислить , где

Решение

Запишем неравенствами область V в сферических координатах: Преобразование прямоугольных координат на плоскости

Пример 15

Найти объем, лежащий внутри сферы и снаружи конуса

Решение

Прейдем к сферическим координатам. Уравнение сферы будет выглядеть следующим образом: . Добавим к уравнению конуса справа и слева: .

Осуществим переход:

Сокращаем на и разрешаем относительно , получаем:

Чтобы найти объем вычисляем следующий интеграл:

Объем равен:

Понятие рациональных дробей. Самые простые рациональные дроби. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных дробей.

Некоторые сведения о многочленах. Многочленом -й степени (или целой рациональной функцией) называется выражение вида

,  (6.30)

где – степень многочлена,   – постоянные коэффициенты действительные, или комплексные.

Корнем многочлена (16.30) называется число  (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль, т.е. .

Теорема Безу Число  является корнем многочлена (16.30) тогда и только тогда, когда многочлен  делится без остатка на , т.е.

,  (6.31)

где  – многочлен степени .

Теорема Гаусса 16.3. (Основная теорема алгебры). Всякий многочлен   степени  имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Примем эту теорему без доказательства.

На основании этой теоремы можно доказать следующую теорему.

Теорема 16.4. Всякий многочлен  степени  может быть представлен в виде произведения  линейных множителей вида  и коэффициента  при старшей степени , т.е.

.  (6.32)

□ Действительно, по теореме 16.3 многочлен (16.30) имеет хотя бы один корень, например, . Тогда по теореме 16.2 имеет место соотношение (16.31). А так как  – также многочлен, то он имеет корень, например, . Тогда

.

Продолжая этот процесс, получим 16.32. <

Если среди корней многочлена , , …,  какой-либо корень встретился  раз, то он называется корнем кратности . При  корень называется простым. Собирая вместе множители, соответствующие одинаковым корням, разложение (16.32) можно записать в виде:

, (6.33)

где все корни , , …,  различны и .

Так, например, многочлен  имеет следующие корни:  – кратности 4;  – кратности 2;  – простой корень.

Из формулы (16.33) следует, что всякий многочлен -й степени имеет ровно  корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Теорема 16.5. Два многочлена вида (16.30) тождественно равны тогда и только тогда, когда коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.


На главную