Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Применение тройных интегралов.

I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.

Рассмотрим тело, занимающее пространственную область  (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

    

Единица измерения плотности - кг/м3. Пример Уравнение окружности привести к каноническому виду.

                                Рис. 1.

Разобьем тело произволь­ным образом на n частей; объемы этих частей обозначим   Выберем затем в каждой части по про­извольной точке  Полагая, что в, каждой час­тичной области плотность по­стоянна и равна ее значению в точке , мы получим при­ближенное  выражение для массы всего тела в виде суммы 

     (*)

Предел этой суммы при ус­ловии, что  и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции  по пространственной области .

К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл

где  - произвольная непрерывная в области функция.

Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствую­щей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формули­руется и теорема существования тройного интеграла .

Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подын­тегральная функция  тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области :

     

Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.

V 1. Если функция  во всех точках области интегри­рования  удовлетворяет неравенствам

то

где V - объем области .

VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подын­тегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.

II. Вычисление тройных интегралов.

Вычисление тройного интеграла  может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил.

Теорема 16.6. Если многочлен  с действительными коэффициентами имеет комплексный корень  кратности , то сопряженное комплексное число   также является корнем многочлена той же кратности.

Перемножим эти два множителя, соответствующие сопряженным корням:

,

где , .

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.

На основании вышеизложенного всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующей форме:

, (6.34)

где .

В этом разложении линейные множители соответствуют действительным корням, а квадратные трехчлены – комплексным корням многочлена.

Рациональные функции. Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функции (или рациональные дроби), т.е. функции вида

,  (6.35)

где  и   – многочлены соответственно -й и -й степени. Если  , то дробь (16.35) называется правильной (неправильной).

Например, дроби ,  – правильные, а дроби ,  – неправильные.

Каждая неправильная дробь, путем деления числителя на знаменатель (СР: 1.4), может быть представлена в виде

,  (6.36)

где  – целая часть дроби, называемая частным, а  – остаток этой дроби .


На главную