Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Декартовы координаты.

Пусть дан тройной интеграл от функции

причем область  отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьем область интегрирования и плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Охz, Оуz. Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования

В соответствии с этим будем писать

Установим теперь правило для вычисления    такого интеграла.

Будем считать, что область интегрирования  имеет вид, изобра­женный на рис. 1).

Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области  вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область, на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней поверхности пусть будет , уравнением верхней .

Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D, которая является ортогональной проек­цией пространственной области  на плоскость Оху, при этом линия L проектируется в границу области .

Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси Оz. Для этого функция  интегрируется по заключен­ному в  отрезку прямой, параллельной оси Оz и проходящей через некоторую точку Р(х, у) области D (на рис. 1 отрезок  ). При данных х и у переменная интегрирования z будет изменяться от  - аппликаты точки «входа» ( )  прямой в область , до  -  аппликаты точки «выхода» ( ) прямой из области .

Результат интегрирования представляет собой величину, зави­сящую от точки Р (х, у); обозначим ее через F(х, у):

При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоян­ные.

Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F(х, у) при условии, что точка Р(х, у) изменяется по области D, т. е. если возьмем двойной интеграл

Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде

Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по x, получим

    (*)

где и  - ординаты точек «входа» в область D и «выхо­да» из нее прямой  (в плоскости Оху), а a и b - абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который про­ектируется область D.

Мы видим, что вычис­ление тройного интеграла по области  производит­ся, посредством трех пос­ледовательных интегриро­вании.

Формула (*) сохраняет­ся и для областей, имею­щих цилиндрическую фор­му, т. е. ограниченных цилиндрической поверхно­стью с образующими, параллельными оси Оz, а сни­зу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно  и   (рис. 2).

                           Рис.2

Если областью интегрирования служит внутренность парал­лелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах :

В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.

Определенный интеграл

Определенный интеграл, как предел интегральных сумм, его геометрическое содержание и основные свойства. Теорема Барроу. Теорема Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим задачу о нахождении площади плоской области $ \mathcal{D}$, ограниченной на координатной плоскости $ xOy$отрезком $ [a;b]$оси $ Ox$, графиком непрерывной функции $ y=f(x)>0$, заданной на отрезке $ [a;b]$, и двумя отрезками вертикальных прямых $ x=a$и $ x=b$, соединяющими точки оси $ Ox$с точками графика (см. рис.).

Рис.7.1.

Заметим, что если графиком $ y=f(x)$служит не прямая линия и не окружность, то в школьном курсе математики не было определено, что такое площадь $ S$заданной области $ \mathcal{D}$, так что для таких областей $ \mathcal{D}$мы должны дать определение того, что такое площадь, и это определение должно быть согласовано с тем случаем, когда мы уже знаем, что такое площадь данной фигуры. Эту фигуру $ \mathcal{D}$мы будем в общем случае называть криволинейной трапецией (считая параллельные вертикальные отрезки $ x=a$и $ x=b$её основаниями).

Сначала попробуем найти значение искомой площади приближённо. Для этого разделим область $ \mathcal{D}$на узкие вертикальные полоски $ \mathcal{D}_1,\ \mathcal{D}_2,\dots,\mathcal{D}_n$, проведя вертикальные линии $ x=x_1,\ x=x_2,\dots,\ x=x_{n-1}$; при этом мы будем считать, что $ {x_0=a<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.}$Тогда область $ \mathcal{D}_i$лежит между прямыми $ x=x_{i-1}$и $ x=x_i$, где $ i=1,2,\dots,n$. Обозначим длины отрезков между такими прямыми через $ h_i$: $ h_i=x_i-x_{i-1}$. Очевидно, что площадь $ S_i$области $ \mathcal{D}_i$лежит в пределах от $ \ul{S}_i=\ul{y}_ih_i$до $ \ov{S}_i=\ov{y}_ih_i$, где $ \ul{y}_i=\min\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$и $ \ov{y}_i=\max\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$(см. рис.), и примерно равна $ \wt S_i=f(\ov{x}_i)h_i$, где $ \ov{x}_i$ -- произвольная точка отрезка $ [x_{i-1};x_i]$.

Рис.7.2.

Легко видеть также, что при любом выборе точек $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$мы получаем

$\displaystyle \ul S_i\leqslant \wt S_i\leqslant \ov S_i.$

(7.1)



Тогда искомая площадь $ S=\sum\limits_{i=1}^nS_i$приблизительно равна сумме величин $ \wt S_i$:

$\displaystyle S\approx\sum_{i=1}^n\wt S_i=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i,$

и лежит между суммой площадей $ \ul S_i$и $ \ov S_i$:

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\ul y_ih_i\leqslant S\leqslant \sum_{i=1}^n\ov y_ih_i.$

(7.2)



Из неравенства ( 7.2.) следует также, что при любом выборе точек $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$получаем

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\ul y_ih_i\leqslant 
 \sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i
 \leqslant \sum_{i=1}^n\ov y_ih_i.$

(7.3)



Если все отрезки деления имеют малые длины $ h_i<{\delta}$, то в силу непрерывности 7 функции $ f(x)$все разности между $ \ov y_i$и $ \ul y_i$будут также малы. Точнее говоря, для любого, как угодно малого $ {\varepsilon}>0$можно найти такое $ {\delta}>0$, что при $ h_i<{\delta}$будет $ \ov y_i-\ul y_i<{\varepsilon}$при всех $ i=1,\dots,n$. Значит, разница между правой и левой частями в ( 7.2.) и ( 7.3.) будет меньше, чем $ {\varepsilon}(h_1+h_2+\ldots+h_n)={\varepsilon}(b-a).$Поскольку при $ {\varepsilon}\to0+$эта величина, очевидно, стремится к 0, то левые и правые части неравенств ( 3.2) и ( 3.3) имеют общий предел, который в силу ( 3.2) равен $ S$. По теореме "о двух милиционерах" величина $ \wt S=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i$также имеет пределом число $ S$ -- искомую площадь области $ \mathcal{D}$.

Теперь заметим, что составить сумму $ \wt S=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i$мы можем не только для положительной непрерывной функции, но для произвольной функции $ f(x)$, заданной на $ [a;b]$.

Разберёмся теперь с тем, от какой величины и при каком условии вычисляется упомянутый предел, то есть какова база предела. Величина $ \wt S$зависит, в силу своего определения, во-первых, от выбора точек, которые делят на части отрезок $ [a;b]$, то есть от набора точек $ X=(x_1;x_2;\dots;x_{n-1})$, где $ a<x_1<x_2<\dots<x_{n-1}<b$, а также от выбора промежуточных точек, в которых вычисляются значения функции, то есть набора точек $ \ov X=(\ov x_1;\ov x_2;\dots,\ov x_n)$, где $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$. Наборы $ X$и $ \ov X$задают размеченное разбиение отрезка $ [a;b]$: точки $ x_i$задают разбиение, а точки $ \ov x_i$ -- разметку этого разбиения. Итак, при фиксированной функции $ f$величина $ \wt S$зависит от размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$:

$\displaystyle \wt S=\wt S(X;\ov X)=\wt S(\Xi).$

Величина $ \wt S$называется интегральной суммой, построенной для функции $ f$на отрезке $ [a;b]$по размеченному разбиению $ \Xi$; интегральная сумма является функцией от размеченного разбиения и определена на множестве всех размеченных разбиений $ \Xi$.


На главную