Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

         Рис.3                                            Рис.4

А) Пример. Решение типовых задач Предел функции При вычислении пределов следует помнить о типовых пределах, которые непосредственно можно получить из определений соответствующих функций.

Вычислим тройной интеграл

где - область, ограниченная координатными плоскостями

                 

и плоскостью  (пирамида, изображённая на рис.4).

Интегрирование по z совершается от z=0 до  Поэтому, обозначая проекцию области  на плоскость Oxy через D, получим

Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику, уравнения сторон которого

Величина, равная длине самого большого из отрезков разбиения $ X$, называется диаметром разбиения; то же относится и к размеченному разбиению $ \Xi$. Диаметр размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$будем обозначать $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)$или $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)$. Итак,

$\displaystyle \mathop{\rm diam}\nolimits (X)=\max(x_i-x_{i-1})=\max h_i.$

Если длина каждого из отрезков разбиения меньше некоторого числа $ {\delta}>0$, то это означает, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$.

Рассмотрим множество всех размеченных разбиений отрезка $ [a;b]$. При любом значении $ {\delta}>0$существуют разбиения с диаметром, меньшим $ {\delta}$. Достаточно, например, поделить отрезок на $ n$равных частей, взяв достаточно большое число этих частей: $ n>\frac{b-a}{{\delta}}.$Значит, множество $ E_{{\delta}}$размеченных разбиений с диаметром, меньшим $ {\delta}$, не пусто при любом $ {\delta}>0$.

Если взять два значения $ {\delta}$, скажем, $ 0<{\delta}_1<{\delta}_2$, то очевидно, что каждое разбиение диаметра меньше $ {\delta}_1$, одновременно имеет диаметр меньше $ {\delta}_2$, так что $ E_{{\delta}_1}\sbs E_{{\delta}_2}$, если $ {\delta}_1<{\delta}_2$. Так что $ E_{{\delta}_1}\cap E_{{\delta}_2}=E_{{\delta}_1}$.

Вспомним теперь определение базы произвольного предела: база $ \mathcal{B}$состоит из окончаний $ E$, таких что все они непусты и если $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$, то существует третье окончание $ E_3\in\mathcal{B}$, такое что $ E_3\sbs(E_1\cap E_2)$. Наши множества разбиений $ E_{{\delta}}$, как мы только что проверили, образуют некоторую базу в множестве всех разбиений отрезка $ [a;b]$. Действительно, мы проверили, что они непусты и при $ E_1=E_{{\delta}_1}$и $ E_2=E_{{\delta}_2}$в качестве $ E_3$можно взять $ E_1=E_{{\delta}_1}$, если $ {\delta}_1=\min\{{\delta}_1;{\delta}_2\}$.

Итак, размеченные разбиения образуют базу $ \mathcal{B}$в том самом множестве, для элементов которого определены значения интегральной суммы $ \wt S(\Xi)$. Эту базу мы будем обозначать $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$. Когда мы берём размеченные разбиения со всё меньшим и меньшим диаметром, мы измельчаем деление отрезка на части, и при этом интегральная сумма может иметь предел, который, в случае положительной непрерывной функции $ f$, равен площади криволинейной трапеции.

Эти соображения приводят нас к следующему основному определению.

        Определение 7.1   Для заданной функции $ f$на отрезке $ [a;b]$назовём определённым интегралом от $ f$по $ [a;b]$число, равное пределу интегральной суммы, рассматриваемой как функция размеченного разбиения $ \Xi$, по базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$. Определённый интеграл обозначается $ \int_a^bf(x)\;dx$или $ \int_{[a;b]}f(x)\;dx$. Итак,

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Если функция $ f$такова, что определённый интеграл от неё по отрезку $ [a;b]$существует (то есть если интегральная сумма имеет предел при базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$), то функция $ f$называется интегрируемой на отрезке $ [a;b]$.

По отношению к интегралу $ \int_a^bf(x)\;dx$число $ a$называется нижним пределом, число $ b$ -- верхним пределом, а функция $ f(x)$ -- подынтегральной функцией.     

Если вспомнить общее определение предела и записать его применительно к нашему случаю, то получим, что число $ I$равно определённому интегралу от $ f$по отрезку $ [a;b]$, если для любого, сколь угодно малого числа $ {\varepsilon}>0$мы можем выбрать такое число $ {\delta}>0$, задающее мелкость разбиения, что для любого размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$с диаметром, меньшим $ {\delta}$, значение интегральной суммы будет отличаться от числа $ I$не больше чем на $ {\varepsilon}$:

$\displaystyle \Bigl\vert\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1})-I\Bigr\vert\leqslant {\varepsilon},$    если $\displaystyle \max_i(x_i-x_{i-1})<{\delta}.$

Заодно, кроме общего определения определённого интеграла, мы получили определение площади $ S$криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции $ y=f(x)$, как такого же предела интегральных сумм:

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx,$

если функция $ f$непрерывна на $ [a;b]$и $ f(x)>0$при всех $ x\in[a;b]$.

Сделаем ещё такое важное замечание: в обозначении $ I=\int_a^bf(x)\;dx$совершенно неважно, какой именно буквой обозначена переменная интегрирования (в данном случае $ x$): если фиксированы подынтегральная функция $ f$и пределы интегрирования $ a$и $ b$, то интегралы $ \int_a^bf(t)\;dt$, $ \int_a^bf(z)\;dz$, $ \int_a^bf({\alpha})\;d{\alpha}$и т. п. означают одно и то же число $ I$, к которому стремятся интегральные суммы, построенные для функции $ f$на отрезке $ [a;b]$при измельчении размеченного разбиения. (Точно так же сумма $ S=\sum\limits_{i=1}^na_i$величин $ a_1,a_2,\dots,a_n$не зависит от того, какой буквой обозначать индекс суммирования: то же значение $ S$будут иметь суммы, обозначенные как $ \sum\limits_{j=1}^na_j$, $ \sum\limits_{t=1}^na_t$, $ \sum\limits_{{\alpha}=1}^na_{{\alpha}}$и т. п.)

Рассматривая на каждом из отрезков разбиения $ [x_{i-1};x_i]$значения $ \ul y_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$и $ \ov y_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$(в случае непрерывной функции $ f(x)$они совпадают с $ \ul y_i=\min\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$и $ \ov y_i=\max\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$, которые мы рассматривали выше), мы можем дать для разбиения $ X$определение нижней интегральной суммы:

$\displaystyle \ul S(X)=\sum_{i=1}^n\ul y_ih_i$

и верхней интегральной суммы:

$\displaystyle \ov S(X)=\sum_{i=1}^n\ov y_ih_i.$

При измельчении разбиения $ X$, то есть при добавлении к множеству точек деления $ \{x_1;x_2;\dots;x_{n-1}\}$дополнительных точек отрезка $ [a;b]$, не совпадающих с уже имеющимися и рассмотрении новых, более мелких, отрезков деления, верхние интегральные суммы, очевидно, могут лишь уменьшиться, а нижние интегральные суммы -- лишь увеличиться: если $ X'$ -- разбиение с добавленными точками деления, то

$\displaystyle \ul S(X)\leqslant \ul S(X')\leqslant \ov S(X')\leqslant \ov S(X).$

Очевидно также, что для любого размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$имеет место неравенство

$\displaystyle \ul S(X)\leqslant \wt S(\Xi)\leqslant \ov S(X).$

Отсюда сразу следует такая теорема:

        Теорема 7.1   Пусть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$существуют и равны друг другу пределы верхней и нижней интегральных сумм для функции $ f(x)$на отрезке $ [a;b]$:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ul S(X)=I;\quad
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ov S(X)=I.$

Тогда функция $ f(x)$интегрируема на $ [a;b]$, причём

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=I.$


На главную