Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Цилиндрические координаты.

Отнесём область  к системе цилиндрических координат , в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами  ее проекции Р на плос­кость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное распо­ложение осей координат, как указано на рис. 5, уста­новим связь, между декарто­выми и цилиндрическими ко­ординатами точки М, именно:

             (*)

                      Рис.5 Асимптоты При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Разобьем область  на частичные области  тремя системами координатных поверхностей:  которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью кото­рых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями  служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение

Преобразование тройного интеграла   к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобра­зованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в вы­ражении подынтегральной функции  переменные x, y, z заменить по формулам (*) и взять элемент объёма равным

Получим

Если, в частности,  то интеграл выражает объём V области

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по  и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В част­ности, если областью интегрирования служит внутренность ци­линдра  то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования:

        Замечание 7.4   Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной $ x$не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной $ t$. После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной $ x$должны быть указаны пределы изменения именно $ x$(то есть $ a$и $ b$), в то время как в исходном интеграле по переменной $ t$указаны пределы изменения $ t$(то есть $ {\alpha}$и $ {\beta}$)!

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, -- те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.     

 

 

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

        Теорема 7.15   Пусть функции $ f(x)$и $ g(x)$имеют на отрезке $ [a;b]$непрерывные производные $ f'(x)$и $ g'(x)$. Тогда имеет место формула

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bg(x)f'(x)\;dx.$

 

Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга

Напомним, что выше мы проверили, что формула

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx$

действительно даёт площадь трапеции, давно нам известную в том случае, когда линия $ y=f(x)$ -- прямая. Мы заметили, что надо еще проверить, что эта формула не противоречит другому издавна известному нам случаю площади: когда линия $ y=f(x)$ -- часть окружности, то эту площадь можно подсчитать, исходя из формулы для площади круга (напомним, она равна $ \pi R^2$для круга радиуса $ R$). Не ограничивая общности, можно считать, что центр круга совпадает с началом координат координатной плоскости $ xOy$, так что окружность радиуса $ R$имеет уравнение

$\displaystyle x^2+y^2=R^2.$

Верхняя полуокружность задана тогда уравнением $ y=\sqrt{R^2-x^2}$, то есть представляет собой график функции $ f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$.

Рис.7.5.

Пусть теперь взят отрезок $ [a;b]$, целиком умещаюшийся на диаметре $ [-R;R]$, лежащем на оси $ Ox$. Для определённости разберём случай, когда $ a>0$(тогда $ 0<a<b\leqslant R$). Проведём вертикальные отрезки $ x=a$и $ x=b$через концы $ [a;b]$до пересечения с полуокружностью и получим криволинейную трапецию. Для подсчёта её площади геометрическим способом проведём радиусы $ OM$и $ ON$в точки пересечения вертикальных отрезков $ x=a$и $ x=b$, соответственно, с полуокружностью. Длины этих вертикальных отрезков равны $ \sqrt{R^2-a^2}$и $ \sqrt{R^2-b^2}$. Площадь треугольника $ OMa$равна, очевидно, $ S_1=\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}$, а площадь треугольника $ ONb$равна $ S_2=\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}$. Радиус $ OM$проведён под углом $ {\varphi}_1=\arccos\frac{a}{R}$к оси $ Ox$, а радиус $ ON$ -- под углом $ {\varphi}_2=\arccos\frac{b}{R}$к оси $ Ox$. Используя формулу площади сектора с центральным углом $ {\varphi}_1-{\varphi}_2$, находим площадь сектора круга $ MON$:

$\displaystyle S_{сект.}=\frac{1}{2}R^2({\varphi}_1-{\varphi}_2)=
\frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$

Поскольку, как видно из чертежа, площадь $ S$криволинейной трапеции $ aMNb$равна

$\displaystyle S=S_{сект.}+S_{\triangle ONb}-S_{\triangle OMa},$

то получаем формулу

$\displaystyle S=\frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})
+\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}-\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}.$

Наша задача -- проверить, что к той же самой формуле приводят и правила интегрирования, если площадь криволинейной трапеции $ aMNb$подсчитывать по общей фоpмуле площади области, лежащей под гpафиком функции $ y=f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$, то есть вычислять как $ S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx.$


На главную