Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Сферические координаты.

Отнесём теперь область интегрирования  к системе сферических координат . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом  между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом  между  проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом  может изменятся то 0 до а   - от 0  до .

                                    Рис.6

Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается.

Отсюда

           (**)

Разобьем область  на частичные области , тремя системами координатных   поверхностей:            которыми будут

                                                

 соответственно сферы с центром в на­чале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпада­ющими с одной из полуосей Оz. Частичными областями  служат «шестигранники» (рис. 7). От­бросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоу­гольный параллелепипед с изме­рениями, равными:  по направ­лению полярного радиуса,  по направлению меридиана,  по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение       

Заменив в тройном интеграле   по формулам (**) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование  - шар с центром в начале коор­динат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара , а внешнего , пределы интегриро­вания следует расставить так:

Если  - шар, то нужно положить

A) Пример.

 Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим

Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара :

Две координаты центра тяжести  равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz).

Интеграл   удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:

Так как объём полушара равен  то

               

Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны  то полагая для простоты  получим следующие формулы :

Аналогично плоскому случаю интегралы

называются центробежными моментами инерции.

Для полярного момента инерции формула имеет вид

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под зна­ком интеграла будет находиться дополнительный множитель  - плотность тела в точке P.

Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сфери­ческим координатам. Будем иметь

где М—масса шара.

        Теорема 3.9   Пусть функция $ f(x)$непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда существует такая точка $ x^*\in[a;b]$, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=f(x^*)(b-a).$

        Доказательство.     Заметим для начала, что по теореме 7.3 функция $ f(x)$интегрируема на $ [a;b]$, так что интеграл в левой части доказываемого равенства существует. Поскольку функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём в некоторых точках $ x_1$и $ x_2$своё наименьшее и наибольшее значения $ m=f(x_1)$и $ M=f(x_2)$, то $ m=f(x_1)\leqslant f(x)\leqslant f(x_2)=M$при всех $ x\in[a;b]$. Согласно неравенству ( 7.4), величина $ \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}$удовлетворяет неравенству

$\displaystyle m\leqslant \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}\leqslant M$

и, следовательно, является промежуточным значением между $ f(x_1)$и $ f(x_2)$. Но непрерывная функция принимает любое своё промежуточное значение в некоторой точке отрезка, значит, существует такая точка $ x^*\in[a;b]$, что

$\displaystyle \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}=f(x^*).$

Умножая последнее равенство на $ b-a$, получаем утверждение теоремы.     

        Теорема 7.10   Пусть функция $ f(x)$интегрируема на отрезке $ [a;b]$. Тогда функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$также интегрируема на $ [a;b]$, причём

$\displaystyle \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx\geqslant \Bigl\vert\int_a^bf(x)\;dx\Bigr\vert.$

(7.5)



        Доказательство.     Докажем сначала, что функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$интегрируема. Пусть $ \ul{y}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$, $ \ov{y}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$. $ \ul{z}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$, $ \ov{z}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$. Тогда для произвольных $ x',x''\in[x_{i-1};x_i]$будет

$\displaystyle \vert f(x')\vert-\vert f(x'')\vert\leqslant \vert f(x')-f(x'')\vert\leqslant \ov y_i-\ul y_i,$

откуда

$\displaystyle 0\leqslant \ov z_i-\ul z_i\leqslant \ov y_i-\ul y_i.$

Умножая на $ h_i$и суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем:

$\displaystyle 0\leqslant \sum_{i=1}^n(\ov z_i-\ul z_i)h_i\leqslant
\sum_{i=1}^n(\ov y_i-\ul y_i)h_i.$

Поскольку функция $ f$интегрируема, правая часть становится меньше любого $ {\varepsilon}>0$, если разбиение имеет достаточно малый диаметр $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$. Тогда для достаточно мелких разбиений и левые части становятся меньше $ {\varepsilon}$, а значит, предел верхних интегральных сумм совпадает с пределом нижних интегральных сумм для функции $ g=\vert f\vert$. Следовательно, функция $ g=\vert f\vert$интегрируема, согласно теореме 7.1.

Неравенство (7.5) докажем так: запишем очевидные неравенства

$\displaystyle f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$    и     $\displaystyle -f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$


На главную