Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Применение тройных интегралов.

Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Охz, Оуz; обозначим их соответ­ственно  Повторяя рассуждения  получим следующие формулы для координат  центра тяжести неоднородного тела, плотность которого задается функцией  занимающего область :

Если тело однородно, т. е. , то формулы упрощаются:

где V- объём тела.

Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара : Дифференциал функции Пример. Найти .

Две координаты центра тяжести  равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz).

Интеграл   удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:

Так как объём полушара равен  то

               

Методы подстановки и интегрирование частями в определенному интеграле. Использование определенного интеграла для нахождения площади геометрических фигур.

Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.

Формула замены переменного в определённом интеграле.

        Теорема 7.14   Пусть функция $ f(x)$непрерывна на отрезке $ [a';b']$, а функция $ {\varphi}(t)$имеет непрерывную производную $ {\varphi}'(t)$на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$, причём все значения $ x={\varphi}(t)$при $ t\in[{\alpha};{\beta}]$принадлежат отрезку $ [a';b']$, в том числе $ {\varphi}({\alpha})=a$и $ {\varphi}({\beta})=b$. Тогда имеет место равенство

$\displaystyle \int_{{\alpha}}^{{\beta}}f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Пусть $ F(x)$ -- некоторая первообразная для $ f(x)$, так что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=F(b)-F(a),$

и $ G(t)$ -- некоторая первообразная для $ f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)$, так что

$\displaystyle \int_{{\alpha}}^{{\beta}}f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=G({\beta})-G({\alpha}).$

Поскольку по теореме о замене переменного в неопределённом интеграле имеет место формула

$\displaystyle \int f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=\int f(x)\;dx\Bigr\vert _{x={\varphi}(t)},$

то есть

$\displaystyle G(t)=F({\varphi}(t))+C,$

где $ C=\mathrm{const}$, то при $ t={\beta}$и $ t={\alpha}$имеем $ G({\beta})=F({\varphi}({\beta}))+C$и $ G({\alpha})=F({\varphi}({\alpha}))+C$, откуда

$\displaystyle G({\beta})-G({\alpha})=F({\varphi}({\beta}))-F({\varphi}({\alpha})).$

Учитывая, что $ {\varphi}({\beta})=b$и $ {\varphi}({\alpha})=a$, получаем

$\displaystyle G({\beta})-G({\alpha})=F(b)-F(a),$

а это и есть доказываемая формула замены переменного.     


На главную