Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Объём цилиндрического тела.

Двойной интеграл.

Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D. Такая фигура называется цилиндрическим телом (рисунок 1).

Рисунок 1. Цилиндрическое тело

Объём цилиндрического тела можно вычислить приближённо, заменив его ступенчатой фигурой следующим образом. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

1. Область D произвольным образом разбивается на конечное число п элементарных областей (ячеек) D1, D2,..., Dn, площади которых обозначим соответственно ΔS, ΔS2 ,..., ΔSn. Диаметром ячейки называют наибольшее расстояние между двумя точками на её границе и обозначают diamDi.

Выберем в каждой ячейке Di произвольную точку и вычислим в ней значение. Составим сумму вида:

Каждое  слагаемое в сумме вычисляет объём прямого цилиндра с основанием Di и высотой .

Сумма (1) называется интегральной уммой для функции f(x,y) по области D. Предел интегральной суммы (1) при max diamDi→0 (n→∞) называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D:

В обозначении двойного интеграла D-область интегрирования f(x,y) - подынтегральная функция, dS-дифференциал площади, который можно заменить произведением дифференциалов независимых переменных dxdy.

Формула (2) позволяет вычислить объём цилиндри-ческого тела при f(x,y)>0, в чём и заключается геометрический смысл двойного интеграла.

В общем случае, если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует (существует предел интегральной суммы (2)) и не зависит от способа разбиения области D на частичные и от выбора точек   в них.

1. Линейные свойства двойного интеграла:

2. Если область D разделена на несколько частей D1, D2,...,Dk без общих внутренних точек, то

3. Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то в этой области найдётся такая точка (хо,уо), что

где SD - площадь области D (теорема о среднем).

4. Если m, М - наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x,y) в области D, то справед-ливо двойное неравенство (оценка двойного интеграла):

где SD - площадь области D (теорема о среднем).

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Область D называется правильной относительно оси Ох, если прямая, параллельная этой оси, проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках. Аналогично определяется правильная область относительно оси Оу.

  Рисунок 2. Рисунок 3.

Рисунок 2 - Область, правильная, относительно оси Оу Рисунок 3 - Область, правильная, относительно оси Ох

Область D, правильную относительно как Ох, так и Оу, называют просто правильной областью.

Если область D - правильная относительно Оу (рисунок 2), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Изменим порядок интегрирования. При этом нижняя граница области D задана двумя аналитическими выражениями . В этом случае область D нужно разбить на две области Dl, D2 с помощью прямой, проходящей по оси Оу. На основании свойства 2 двойного интеграла получаем:

Итак, приступаем к преобразованию этого интеграла. Первым делом проинтегрируем по частям:

$\displaystyle S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...ht\vert=
 x\sqrt{R^2-x^2}\Bigr\vert _a^b-\int_a^b\frac{-x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$

   

$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\int_a^b\frac{(R^2-x^2)-R^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$

   

$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\underbrace{\int_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx}_{{}=S}+
 R^2\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=$

   

$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(-\arccos\frac{x}{R})\Bigr\vert _a^b=$

   

$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$

   



После интегрирования по частям мы преобразовали интеграл в правой части, добавив и отняв $ R^2$в числителе, после чего поделили скобку $ (R^2-x^2)$на $ \sqrt{R^2-x^2}$и получили тот же интеграл, с которого начинали, то есть $ S$. Оставшийся интеграл

$\displaystyle \int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}$--

табличный, но вместо привычной табличной формулы

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{R}+C$

мы воспользовались (тоже верной) формулой

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=-\arccos\frac{x}{R}+C$

и применили формулу Ньютона - Лейбница для вычисления определённого интеграла. Теперь в полученном равенстве

$\displaystyle S=
b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})$

перенесём $ S$из правой части в левую и поделим обе части пополам. Получим:

$\displaystyle S=
\frac{1}{2}b\Bigl(
\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})\Bigr).$

Это та же самая формула для площади $ S$, что была получена выше, исходя из формулы площади кругового сектора. Значит, способ подсчёта площади с помощью интеграла не противоречит и этой формуле площади, известной из элементарной геометрии.


На главную