Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Основные свойства и приложения двойного интеграла

1. Линейные свойства двойного интеграла:

2. Если область D разделена на несколько частей D1, D2,...,Dk без общих внутренних точек, то

3. Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то в этой области найдётся такая точка (хо,уо), что

где SD - площадь области D (теорема о среднем). Линейная алгебра Курс лекций по математике

4. Если m, М - наименьшее и наибольшее  значения непрерывной функции f(x,y) в области D, то справед-ливо двойное неравенство (оценка двойного интеграла):

где SD - площадь области D (теорема о среднем).

С помощью двойных интегралов можно вычислить следующие величины. Площадь плоской фигуры D:

  Если D - плоская пластинка с поверхностной плотностью μ(х,у), то по следующим формулам определяются:

а) масса пластинки

б) статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу:

в) координаты центра масс пластинки:

г) моменты инерции пластинки D относительно осей координат и начала координат:

Несобственный интеграл. Разновидность несобственных интегралов. Исследования совпадения несобственных интегралов. Решение экономических примеров.

   Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.
   Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +Ґ определяется равенством

   Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся.
   Аналогично

и

   Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода).

Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается .
Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

    

        Замечание 3.5   Заметим, что эту формулу можно записать в виде

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)\Bigr\vert _a^b-\int_a^bg(x)f'(x)\;dx,$

где выражение

$\displaystyle f(x)g(x)\Bigr\vert _a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)$

называется внеинтегральным членом. Введя обозначения $ u=f(x)$и $ v=g(x)$, мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:

$\displaystyle \int_a^bu\;dv=uv\Bigr\vert _a^b-\int_a^bv\;du.$

    

        Доказательство теоремы 7.15.     Поскольку из условий теоремы следует, что под знаками интегралов в левой и правой частях равенства стоят непрерывные функции, то к этим интегралам можно применять формулу Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=F(b)-F(a)$

и

$\displaystyle \int_a^bg(x)f'(x)\;dx=G(b)-G(a).$

Пусть $ F(x)$ -- некоторая первообразная для функции $ f(x)g'(x)$, а $ G(x)$ -- некоторая первообразная для функции $ g(x)f'(x)$. Формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла, то есть

$\displaystyle \int f(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)\;dx,$

означает, что

$\displaystyle F(x)=f(x)g(x)-G(x)+C,$

где $ C=\mathrm{const}$. Положим теперь $ x=b$и $ x=a$и получим: $ F(b)=f(b)g(b)-G(b)+C$и $ F(a)=f(a)g(a)-G(a)+C$, откуда

$\displaystyle F(b)-F(a)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\bigl(G(b)-G(a)\bigr).$

Но с учётом равенств, полученных выше по формуле Ньютона - Лейбница, это как раз и даёт доказываемую формулу.     

        Замечание 7.6   Советы, в каких случаях целесообразно применять формулу интегрирования по частям, остаются теми же, как в случае вычисления неопределённых интегралов. Выигрыш от применения формулы интегрирования по частям для определённого интеграла по сравнению с предварительным вычислением первообразной по формуле интегрирования по частям для неопределённого интеграла, а затем применением формулы Ньютона - Лейбница получается от того, что мы сразу, при возникновении внеинтегрального члена, можем вычислить подстановку и далее при преобразованиях использовать полученное число вместо выражения, задающего внеинтегральный член.     


На главную