Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Область D называется правильной относительно оси Ох, если прямая, параллельная этой оси, проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках. Аналогично определяется правильная область относительно оси Оу.

  Рисунок 2. Рисунок 3.

Рисунок 2 - Область, правильная, относительно оси Оу Рисунок 3 - Область, правильная, относительно оси Ох

Область D, правильную относительно как Ох, так и Оу, называют просто правильной областью. Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

Если область D - правильная относительно Оу (рисунок 2), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Правую часть формулы (8) называют повторным (двукратным) интегралом. Вычисление повторного  интеграла начинаем с вычисления внутреннего интеграла.

в  котором переменную х надо принять при интегрировании за постоянную величину. После  подстановки пределов интегрирования в первообразную получаем некоторую функцию, зависящую от х, которую затем интегрируем на отрезке [a,b].

Если область D является правильной относительно оси Ох (рисунок 3), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Если область D - просто правильная, можно применять как формулу (8), так и формулу (9). При этом переход от одной формулы к другой называют изменением порядка интегрирования.

Сам процесс перехода от двойного интеграла к повторному и расстановка пределов интегрирования для внешнего и внутреннего интегралов называют приведением двойного интеграла к повторному.

Правило расстановки пределов.

В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.

В пределах внешнего интеграла (по второй переменной) стоят постоянные числа. В результате вычисления двойного интеграла получается некоторое постоянное число.

Если область не является правильной ни относительно оси Ох, ни относительно оси Оу, её разбивают на конечное число областей , правильных относительно одной из осей и при вычислении применяют свойство 2.

        Замечание 3.1   Заметим теперь, что если переопределить значение интегрируемой функции в одной или нескольких точках (в конечном числе точек), то она останется интегрируемой и значение определённого интеграла от неё не изменится.

Действительно, изменение значения в одной точке $ x_0$либо вовсе не меняет интегральную сумму, либо изменяет одно её слагаемое, если $ x_0$совпадает с одной из точек разметки $ \ov x_i$. Но при измельчении разбиения, то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$, вклад слагаемого $ f(\ov x_i)h_i$, соответствующего отрезку, на котором лежит $ x_0$, стремится к 0, так как $ h_i\to0$. Значит, предел $ I=\lim\limits_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S(\Xi)$не меняется. Если точек $ x_0$, в которых изменяется значение функции, несколько, то их можно добавлять по одной, что и завершает доказательство утверждения.     

Выясним теперь некоторые общие свойства определённого интеграла $ \int_a^bf(x)\;dx$. При этом будем предполагать, что функции, стоящие под знаком определённого интеграла, -- интегрируемые.

Линейность интеграла. Пусть $ f(x)$ -- интегрируемая на $ [a;b]$функция. Докажем формулу, означающую, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а именно, что если $ k=\mathrm{const}$, то функция $ kf(x)$интегрируема на $ [a;b]$и имеет место формула

$\displaystyle \int_a^bkf(x)\;dx=k\int_a^bf(x)\;dx.$

Действительно, если при фиксированном размеченном разбиении составить интегральную сумму $ \wt S_{kf}(\Xi)$для функции $ kf(x)$, значения которой в точках разметки равны $ kf(\ov x_i)$, то можно будет вынести постоянный множитель $ k$за знак конечной суммы по номеру отрезка $ i$:

$\displaystyle \wt S_{kf}(\Xi)=\sum_{i=1}^nkf(\ov x_i)h_i=k\cdot
\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i=k\cdot\wt S_f(\Xi),$

где $ S_f(\Xi)$ -- интегральная сумма для функции $ f$, вычисленная по тому же размеченному разбиению $ \Xi$. При измельчении разбиения, то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$, левая часть равенства даёт

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{kf}(\Xi)=\int_a^bkf(x)\;dx,$

а правая часть --

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}k\wt S_{kf}(\Xi)=
k\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{kf}(\Xi)=
k\int_a^bkf(x)\;dx,$

причём из существования предела в правой части следует существование предела в левой. Здесь мы воспользовались тем, что постоянный множитель можно выносить за знак предела. Поскольку при переходе к пределу равенство сохранится, мы получим доказываемую формулу.

Докажем теперь, что если $ f(x)$и $ g(x)$ -- интегрируемые на $ [a;b]$функции, то функция $ f(x)+g(x)$тоже интегрируема и имеет место формула

$\displaystyle \int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)\;dx+\int_a^bg(x)\;dx.$

Составим для данного размеченного разбиения $ \Xi$интегральную сумму для функции $ f(x)+g(x)$:

$\displaystyle \wt S_{f+g}(\Xi)=\sum_{i=1}^n(f(\ov x_i)+g(\ov x_i))h_i$

и очевидным образом преобразуем её, раскрыв скобки и переставив слагаемые:

$\displaystyle \wt S_{f+g}(\Xi)=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=1}^ng(\ov x_i))h_i=
\wt S_f(\Xi)+\wt S_g(\Xi),$

где $ \wt S_f$ -- интегральная сумма для функции $ f$, а $ \wt S_g$ -- интегральная сумма для функции $ g$, составленные по тому же размеченному разбиению $ \Xi$. Теперь заметим, что равенство сохранится и после предельного перехода при базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$, а также что предел суммы равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{f+g}(\Xi)=
\li...
...to0}
\wt S_f(\Xi)+
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}
\wt S_g(\Xi).$

По условию, пределы в правой части существуют:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_f(\Xi)
=\int_a^...
...quad
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g(\Xi)=\int_a^bf(x)\;dx.$


На главную