Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Пример 1. 

Вычислить двойной интеграл 

двумя способами, если граница области D задана уравнениями:

Решение 1, а

Построив кривые, получим область D (рисунок 4). Область правильная. Применим формулу (8). При этом уравнение верхней границы области х=у2 преобразуем к виду : Свойства определенного интеграла

Рисунок 4.- область интегрирования к примеру 1,а

Рисунок 5.- область интегрирования к примеру 1,b

Изменим порядок интегрирования и применим формулу (9):

Решение 1, b 

Область D построена на рисунке 5. Область D правильная. Выбираем для интегрирования формулу (9):

Изменим порядок интегрирования. При этом нижняя граница области D задана двумя аналитическими выражениями . В этом случае область D нужно разбить на две области Dl, D2 с помощью прямой, проходящей по оси Оу. На основании свойства 2 двойного интеграла получаем:

Поэтому существует и предел в левой части, причём он равен $ \int_a^bf(x)\;dx+\int_a^bf(x)\;dx.$Осталось заметить, что, по определению, предел левой части даёт $ \int_a^b(f(x)+g(x))dx$. Итак, получили, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой из этих функций.

Из доказанных свойств интеграла следует, что если $ C_1$и $ C_2$ -- постоянные, то

$\displaystyle \int_a^b(C_1f(x)+C_2g(x))dx=C_1\int_a^bf(x)\;dx+C_2\int_a^bg(x)\;dx.$

Эта формула означает, что операция вычисления определённого интеграла обладает свойством линейности.

Можно также отметить, что тем самым мы доказали, что множество всех интегрируемых на фиксированном отрезке функций является некоторым линейным пространством $ S_{[a;b]}$, то есть операции умножения на постоянный множитель и сложения не выводят результирующую функцию из данного множества, а операция $ I:S_{[a;b]}\to\mathbb{R}$, действующая на элементы $ f\in S_{[a;b]}$по формуле $ I(f)=\int_a^bf(x)\;dx$ -- это линейная операция:

$\displaystyle I(C_1f+C_2g)=C_1I(f)+C_2I(g),$

где $ f,g\in S_{[a;b]}$ -- произвольные функции, а $ C_1,C_2$ -- постоянные.

Докажем теперь свойство определённого интеграла, называемое его аддитивностью. А именно, предположим, что функция $ f(x)$интегрируема на отрезках $ [a;c]$и $ [c;b]$, где $ a<c<b$. Тогда $ f(x)$интегрируема на отрезке $ [a;b]$, причём

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx.$

Действительно, рассмотрим какое-либо размеченное разбиение отрезка $ [a;b]$, содержащее в качестве одной из точек деления точку $ c=x_m$. Тогда, очевидно, интегральная сумма $ \wt S$для $ f$по отрезку $ [a;b]$представляется в виде

$\displaystyle \wt S=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$

причём первая сумма,

$\displaystyle \wt S_1=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i,$

является интегральной суммой для $ f$по отрезку $ [a;c]$, соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_1$, заданному точками $ x_1,\dots,x_{m-1}$и $ \ov x_1,\dots,\ov x_m$, а вторая,

$\displaystyle \wt S_2=\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$--

интегральной суммой по отрезку $ [c;b]$, соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_2$, заданному точками $ x_{m+1},\dots,x_{n-1}$и $ \ov x_{m+1},\dots,\ov x_n$. Заметим еще, что при $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)=\max\limits_{i=1,\dots,m}h_i\to0}$и $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)=\max\limits_{i=m+1,\dots,n}h_i\to0}$будет также $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\limits_{i=1,\dots,n}h_i\to0}$, так как, очевидно, $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1);\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\}}$. Так что при измельчении разбиений отрезков $ [a;c]$и $ [c;b]$разбиение отрезка $ [a;b]$также будет измельчаться, и наоборот, из условия $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$следует, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)\to0$и $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\to0$. Поэтому

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...iam}\nolimits (\Xi_2)\to0}\wt S_2(\Xi_2)=
\int_a^cf(x)\;dx+
\int_c^bf(x)\;dx.$


На главную