Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Двойной интеграл в полярных координатах

Если область интегрирования D - круг или часть круга, то обычно двойной интеграл вычислить легче, если перейти к полярным координатам. Полярный полюс помещается в начало декартовых координат, полярная ось направлена вдоль оси Ох. Формулы перехода к полярным координатам:

Дифференциал площади в полярных координатах равен

ds = rdrdφ

С учётом формул (10), (11) находим:

Двойные интегралы в полярных координатах выражаются через двукратные интегралы вида

Рис 6. - Область интегрирования, не содержащая начало координат

Рис 7. - Область интегрирования, содержащая начало координат

Если область D содержит начало координат (рисунок 7), то

        Теорема 7.6   Из интегрируемости функции $ f(x)$на отрезке $ [a;b]$следует, что она интегрируема и на любом отрезке $ [a';b']\sbs[a;b]$.

        Доказательство.     Рассмотрим для любого разбиения $ X$отрезка $ [a;b]$то разбиение $ X'$отрезка $ [a';b']$, которое получается, если включить в $ X'$те точки из $ X$, которые попадают на отрезок $ [a';b']$. Если $ \ul S(X')$и $ \ov S(X')$ -- нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие $ X'$, то легко видеть, что

$\displaystyle 0\leqslant \ov S(X')-\ul S(X')\leqslant \ov S(X)-\ul S(X).$

Поэтому если функция интегрируема на $ [a;b]$, то есть суммы $ \ov S(X)$и $ \ul S(X)$имеют общий предел при измельчении разбиения, то и суммы $ \ov S(X')$и $ \ul S(X')$будут иметь общий предел, так как их разность стремится к 0, причём $ \ov S(X')$не увеличиваются, а $ \ul S(X')$не уменьшаются при добавлении дополнительных точек для измельчения разбиения. Наличие общего предела у $ \ov S(X')$и $ \ul S(X')$означает интегрируемость $ f(x)$на $ [a';b']$.     

Вследствие доказанной теоремы мы можем теперь освободиться в теореме об аддитивности интеграла от требования, чтобы функция была интегрируема на каждом из двух отрезков $ [a;c]$и $ [c;b]$, на которые разбивается отрезок $ [a;b]$: интегрируемость на этих двух отрезках автоматически следует из интегрируемости на $ [a;b]$. Более того, справедливо следующее замечание.

        Замечание 7.2   Добавляя отрезки по одному, мы получаем такое утверждение: если отрезки $ [a_0;b_0],\ [a_1;b_1],\ \dots,\ [a_m;b_m]$расположены на оси $ Ox$один за другим, то есть $ b_0=a_1$, ..., $ b_{m-1}=a_m$, и функция $ f(x)$интегрируема на объединении отрезков $ [a_j,b_j]$, $ j=0,\dots,m$, то есть на $ [a_0;b_m]$, то она интегрируема на каждом из частичных отрезков $ [a_j;b_j]$, причём

$\displaystyle \int_{a_0}^{b_m}f(x)\;dx=\sum_{j=0}^m\int_{a_j}^{b_m}f(x)\;dx.$

Это равенство также выражает свойство аддитивности определённого интеграла, применительно к разбиению отрезка на конечное число частей.     

Аддитивность в сочетании с утверждением теорем об интегрируемости монотонной и непрерывной функций даёт следующее предложение.


На главную