Подготовка к контрольной работе по математике

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Высотой параллелограмма , проведенной к данной его стороне, называется перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противолежащей стороны к прямой, содержащей данную сторону.

Признаки параллелограмма.

Теорема 7.1. 

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть ABCD – данный четырехугольник. По условию AO  =  OC ,  BO  =  OD . Так как углы ( AOB ) и ( COD ) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольник AOB равен треугольнику COD , и, следовательно, углы ( OAB ) и ( OCD ) равны. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых ( AB ) и ( CD ) и секущей ( AC ) и по теореме 3.2 прямые ( AB ) и ( CD ) параллельны. Аналогично из равенства треугольников AOD и COB следует равенство углов ( OAD ) и ( OCB ) и по теореме 3.2 – параллельность прямых ( AD ) и ( BC ). Из полученных результатов следует, что четырехугольник ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.

Теорема  7.2. 

Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть ABCD – данный четырехугольник и ( AB ) || ( CD ),  AB  =  CD .

Проведем диагональ AC . Получившиеся треугольники ABC и ADC равны. Действительно, стороны AB и CD равны по условию, сторона AC – общая, углы ACD и BAC равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC . Из равенства треугольников следует равенство углов CAD и ACB . Данные углы являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC . По теореме 3.2 прямые BC и AD параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD параллелограмм по определению. Теорема доказана.

Теорема 7.3. 

Если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, такой четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть ABCD – данный четырехугольник, и AB  =  CD , BC  =  AD .

Проведем диагональ AC . Получившиеся треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Действительно, AB  =  CD , BC  =  AD по условию, а сторона AC – общая. Тогда BCA  =  CAD и BAC  =  ACD . Первые два угла являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC , а вторая пара – при прямых AB и CD и секущей AC . Из равенства внутренних накрест лежащих углов по теореме 3.2 следует параллельность соответствующих прямых, а именно: из равенства углов BCA и CAD следует параллельность прямых BC и AD , а из равенства углов BAC и ACD – параллельность прямых AB и CD . Тогда по определению четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Теорема 7.4. 

Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть ABCD – данный четырехугольник, и B  =  D , A  =  C . Проведем диагональ AC .

Сумма углов четырехугольника равна сумме углов треугольника ABC и треугольника ACD . Так как сумма углов каждого треугольника – 180°, то A  +  B  +  C  +  D  = 360°. С учетом условия получаем, что A  + D  = 180° и C  +  D  = 180°.

Углы A и D являются внутренними односторонними при прямых AB и CD и секущей AD , и, так как их сумма равна 180°, то по следствию 3.2 прямые AB и CD – параллельны. Аналогично углы C и D являются внутренними односторонними при прямых BC и AD и секущей CD , а сумма их равна 180°, и, следовательно, прямые BC  и AD – параллельны. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению, что и требовалось доказать.

Свойствa параллелограмма.

Теорема 7.5. 

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пресечения делятся пополам.

Доказательство

Пусть ABCD – данный параллелограмм. По определению ( AB ) || ( CD ) и ( AD ) || ( BC ). Пусть O – середина диагонали BD и на луче, дополняющем луч OA , отложен отрезок OC 1, равный отрезку OA . По теореме 7.1 получившийся четырехугольник ABC 1 D – параллелограмм, и, следовательно, ( BC 1 ) || ( AD ) и ( AB ) || ( C 1 D ). С учетом условия – ( BC ) || ( AD ) и ( AB ) || ( CD ). В соответствии с теоремой 3.3 ( BC ) = ( BC 1 ) и ( DC ) = ( DC 1 ). Поэтому точки C и C 1 совпадают. Следовательно, совпадают параллелограммы ABCD и ABC 1 D . Отсюда AO  =  OC и BO  =  OD . Теорема доказана.

Следствие 7.1. 

Параллелограмм – выпуклый четырехугольник.

Теорема 7.6. 

У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Доказательство

Пусть ABCD – данный параллелограмм, т.е. ( AB ) || ( CD ) и ( BC ) || ( AD ) и O – точка пересечения диагоналей. Тогда AO  =  OC и BO  =  OD . Поскольку углы ( AOB ) и ( COD ) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольники AOB и COD равны, и, как следствие, AB  =  CD . Аналогично из равенства углов ( AOD ) и ( COB ) как вертикальных и равенства треугольников BOC и DOA следует равенство сторон AD и BC .

В силу доказанного в треугольниках BAD ,  DCB   AB  =  DC ,  AD  =  BC и BD – общая сторона и по теореме 4.8 Δ  BAD  = Δ  DCB . Тогда BCD  =  BAD . Аналогично из равенства треугольников ABC и CDA следует равенство углов ( ABC ) и ( CDA ). Теорема доказана.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство прямоугольника задается следующей теоремой:

Теорема  7.7. 

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство

Пусть ABCD – данный прямоугольник. Прямоугольные треугольники BAD и ABC р S="proof">


Метод вспомогательных секущих плоскостей