Подготовка к контрольной работе по математике

Параллельность прямых

Определение 2.1. 

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a  ||  b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.

Определение 2.2. 

Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися .

Теорема 2.1. 

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство

Чертеж 2.1.1.

Пусть A     a (чертеж 2.1.1). Прямая a и точка A определяют единственную плоскость α. В этой плоскости проведем через точку A прямую b , параллельную прямой a . Если существует еще одна прямая c , параллельная a и проходящая через точку A , то по определению параллельных прямых c и a определяют некоторую плоскость. Эта плоскость содержит прямую a и точку A , то есть совпадает с плоскостью α. Следовательно, в плоскости α через точку A проходят две прямые, параллельные прямой a , что противоречит аксиоме о параллельных прямых в планиметрии.

Замечание. Согласно определению, две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Легко заметить, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Теорема 2.2. Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.

Чертеж 2.1.2.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Доказательство

Чертеж 2.1.4.

Пусть a  ||  c и b  ||  c (чертеж 2.1.4). Заметим, что прямые a и b по теореме 2.1 не могут пересекаться, то есть если бы у них была одна точка, то через эту точку можно было бы провести единственную прямую, параллельную прямой c , то есть они бы совпадали. Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Пусть A     a . Проведем плоскость γ через прямую b и точку A и докажем, что a    γ. Если a пересекает плоскость γ, то по лемме 2.1 c пересекает плоскость γ, и b пересекает плоскость γ. Мы пришли к противоречию, так как b    γ. Итак, a    γ, b    γ и a и b не имеют общих точек, следовательно a  ||  b .
Метод вспомогательных секущих плоскостей