Пример . Вычислить определитель
,
в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны
нулю.
Решение. Разложим определитель А по первой строке: Примеры решения задач Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям
.
Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:
.
И так далее. После n шагов придем к равенству A = а 11 а 22... a nn.
Пример . Вычислить определитель .
Определители Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего
Пример
. Не вычисляя определителя ,
показать, что он равен нулю.
Пример
. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы
.
Для матрицы
найти обратную.
Критерий совместности Кронекера-Капелли
Решение.
Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую
строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной
диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: ,
равный исходному.
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.
Метод вспомогательных секущих плоскостей |